Характеристический определитель

Материал из TAU Wiki
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Характеристический определитель системы)
Строка 1: Строка 1:
=== Характеристический определитель системы ===
+
'''Характеристический определитель системы''' будет иметь следующий вид:<br><br>
<br>
+
Характеристический определитель системы будет иметь следующий вид:<br><br>
+
где <math>I</math>- единичная матрица; <math>A</math>-матрица состояния системы<br><br>
+
 
<math>(1) \qquad q(s)=\begin{vmatrix}
 
<math>(1) \qquad q(s)=\begin{vmatrix}
 
   {s-a _{11}} & {-a _{12}} &\cdots &  {-a _{1n}}\\
 
   {s-a _{11}} & {-a _{12}} &\cdots &  {-a _{1n}}\\
Строка 10: Строка 7:
 
\end{vmatrix}
 
\end{vmatrix}
 
</math><br><br>
 
</math><br><br>
 +
где <math>I</math> — единичная матрица; <math>A</math> — матрица состояния системы<br><br>
 
Если вычислить данный определитель, то получим многочлен n-й степени вида:<br><br>
 
Если вычислить данный определитель, то получим многочлен n-й степени вида:<br><br>
 
<math>(2) \qquad q(s)=s ^n+a _1s ^{n-1}+...+a _{n-1}s+ a _n</math><br><br>
 
<math>(2) \qquad q(s)=s ^n+a _1s ^{n-1}+...+a _{n-1}s+ a _n</math><br><br>
<math>q(s)</math> в выражении (3) будет являться '''характеристическим полиномом системы.'''<br><br>
+
<math>q(s)</math> в выражении (3) будет являться [[характеристический полином|характеристическим полиномом системы]].<br><br>
 
<math>(3) \qquad q(s)=\Delta(s)=det(sI-A)</math>,<br><br>
 
<math>(3) \qquad q(s)=\Delta(s)=det(sI-A)</math>,<br><br>
 
Решение данного векторного уравнения в области изображения существует в том случае,если существует обратная матрица для матрицы<math>(sI-A)</math><br><br>
 
Решение данного векторного уравнения в области изображения существует в том случае,если существует обратная матрица для матрицы<math>(sI-A)</math><br><br>
Строка 18: Строка 16:
 
Обратная матрица существует в том случае, если характеристический определитель не равен нулю. Для нахождения особых точек (ОТ) рассматривается уравнение следующего вида:<br><br>
 
Обратная матрица существует в том случае, если характеристический определитель не равен нулю. Для нахождения особых точек (ОТ) рассматривается уравнение следующего вида:<br><br>
 
<math>(5) \qquad q(s)=0</math><br><br>
 
<math>(5) \qquad q(s)=0</math><br><br>
(5)- '''характеристическое уравнение''' системы.<br><br>
+
(5) — [[характеристическое уравнение]] системы.<br><br>
 
Основной сложностью является нахождения обратной матрицы:<br><br>
 
Основной сложностью является нахождения обратной матрицы:<br><br>
 
<math>(6) \qquad (sI-A)^{-1}=\frac{1}{\Delta(s)}P(s)</math><br><br>
 
<math>(6) \qquad (sI-A)^{-1}=\frac{1}{\Delta(s)}P(s)</math><br><br>
<math>\Delta(s)</math>- характеристический определитель;<br><br>
+
<math>\Delta(s)</math> характеристический определитель;<br><br>
<math>P(s)</math>-'''присоединенная матрица системы''', которая представляет собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений характеристической матрицы системы <math>(sI-A)</math>.<br><br>
+
<math>P(s)</math> — [[присоединенная матрица системы]], которая представляет собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений характеристической матрицы системы <math>(sI-A)</math>.<br><br>
 
Исходя из логики построения матрицы алгебраических дополнений можно сделать вывод, что элементы присоединенной матрицы это многочлены, степень которых не выше <math>n-1</math>.<br><br>
 
Исходя из логики построения матрицы алгебраических дополнений можно сделать вывод, что элементы присоединенной матрицы это многочлены, степень которых не выше <math>n-1</math>.<br><br>
 
<math>deg P _{ij}(s)\leqslant {n-1}</math><br><br><br>
 
<math>deg P _{ij}(s)\leqslant {n-1}</math><br><br><br>
 
Таким образом изображение решения x(s) в векторно-матричной форме можно записать следующим образом:<br> <br>
 
Таким образом изображение решения x(s) в векторно-матричной форме можно записать следующим образом:<br> <br>
 
<math>(7) \qquad x(s)=\frac{1}{\Delta(s)}P(s)f(s)+\frac{1}{\Delta(s)}P(s)x _0(s)</math>
 
<math>(7) \qquad x(s)=\frac{1}{\Delta(s)}P(s)f(s)+\frac{1}{\Delta(s)}P(s)x _0(s)</math>
В (7) также проявляется принцип суперпозиций. Первое слогаемое в (7) является изображением вынужденного движение, а второе- собственного движения системы.<br><br>
+
В (7) также проявляется принцип суперпозиций. Первое слогаемое в (7) является изображением вынужденного движение, а второе —  собственного движения системы.<br><br>
 
[[Категория:Все]][[Категория:Термины и определения]][[Категория:Линейные САУ]][[Категория:Система автоматического управления]]
 
[[Категория:Все]][[Категория:Термины и определения]][[Категория:Линейные САУ]][[Категория:Система автоматического управления]]

Версия 12:35, 19 февраля 2010

Характеристический определитель системы будет иметь следующий вид:

LaTeX: (1) \qquad q(s)=\begin{vmatrix}
</p>
<pre> {s-a _{11}} & {-a _{12}} &\cdots &  {-a _{1n}}\\
 {-a _{21}} & {s-a _{22}} &\cdots &  {-a _{2n}}\\ 
   \vdots & &\hdots\\
 {-a _{n1}} & {-a _{n2}} &\cdots &  {s-a _{nn}}\\
</pre>
<p>\end{vmatrix}

где LaTeX: I — единичная матрица; LaTeX: A — матрица состояния системы

Если вычислить данный определитель, то получим многочлен n-й степени вида:

LaTeX: (2) \qquad q(s)=s ^n+a _1s ^{n-1}+...+a _{n-1}s+ a _n

LaTeX: q(s) в выражении (3) будет являться характеристическим полиномом системы.

LaTeX: (3) \qquad q(s)=\Delta(s)=det(sI-A),

Решение данного векторного уравнения в области изображения существует в том случае,если существует обратная матрица для матрицыLaTeX: (sI-A)

LaTeX: (4) \qquad x(s)=(sI-A)^{-1} \widehat f(s),

Обратная матрица существует в том случае, если характеристический определитель не равен нулю. Для нахождения особых точек (ОТ) рассматривается уравнение следующего вида:

LaTeX: (5) \qquad q(s)=0

(5) — характеристическое уравнение системы.

Основной сложностью является нахождения обратной матрицы:

LaTeX: (6) \qquad (sI-A)^{-1}=\frac{1}{\Delta(s)}P(s)

LaTeX: \Delta(s) — характеристический определитель;

LaTeX: P(s)присоединенная матрица системы, которая представляет собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений характеристической матрицы системы LaTeX: (sI-A).

Исходя из логики построения матрицы алгебраических дополнений можно сделать вывод, что элементы присоединенной матрицы это многочлены, степень которых не выше LaTeX: n-1.

LaTeX: deg P _{ij}(s)\leqslant {n-1}


Таким образом изображение решения x(s) в векторно-матричной форме можно записать следующим образом:

LaTeX: (7) \qquad x(s)=\frac{1}{\Delta(s)}P(s)f(s)+\frac{1}{\Delta(s)}P(s)x _0(s) В (7) также проявляется принцип суперпозиций. Первое слогаемое в (7) является изображением вынужденного движение, а второе — собственного движения системы.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты