Характеристический определитель

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Характеристический определитель системы имеет вид:

LaTeX: (1) \qquad q(s)=\begin{vmatrix}
</p>
<pre> {s-a _{11}} & {-a _{12}} &\cdots &  {-a _{1n}}\\
 {-a _{21}} & {s-a _{22}} &\cdots &  {-a _{2n}}\\ 
   \vdots & &\hdots\\
 {-a _{n1}} & {-a _{n2}} &\cdots &  {s-a _{nn}}\\
</pre>
<p>\end{vmatrix}

где LaTeX: I — единичная матрица; LaTeX: A — матрица состояния системы

Если вычислить данный определитель, то получим многочлен n-й степени вида:

LaTeX: (2) \qquad q(s)=s ^n+a _1s ^{n-1}+...+a _{n-1}s+ a _n

LaTeX: q(s) в выражении (3) является характеристическим полиномом системы.

LaTeX: (3) \qquad q(s)=\Delta(s)=det(sI-A),

Решение данного векторного уравнения в области изображения существует в том случае,если существует обратная матрица для матрицы LaTeX: (sI-A)

LaTeX: (4) \qquad x(s)=(sI-A)^{-1} \widehat f(s),

Обратная матрица существует в том случае, если характеристический определитель не равен нулю. Для нахождения особых точек (ОТ) рассматривается уравнение вида:

LaTeX: (5) \qquad q(s)=0

(5) — характеристическое уравнение системы.

Основной сложностью является нахождения обратной матрицы:

LaTeX: (6) \qquad (sI-A)^{-1}=\frac{1}{\Delta(s)}P(s)

LaTeX: \Delta(s) — характеристический определитель;

LaTeX: P(s)присоединенная матрица системы, которая представляет собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений характеристической матрицы системы LaTeX: (sI-A).

Исходя из логики построения матрицы алгебраических дополнений можно сделать вывод, что элементы присоединенной матрицы это многочлены, степень которых не выше LaTeX: n-1.

LaTeX: deg P _{ij}(s)\leqslant {n-1}

Таким образом изображение решения x(s) в векторно-матричной форме можно записать следующим образом:

LaTeX: (7) \qquad x(s)=\frac{1}{\Delta(s)}P(s)f(s)+\frac{1}{\Delta(s)}P(s)x _0(s)

В (7) также проявляется принцип суперпозиций. Первое слогаемое в (7) является изображением вынужденного движение, а второе — собственного движения системы.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты