Устойчивость

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Устойчивость объектов, звеньев, систем



Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Ust1.jpg

В теории устойчивости, прочное место занимет определение устойчивости по Ляпунову.
В случаях стационарных ситсем, как устойчивость по Ляпунову, так и устойчивость в других смыслах определяется распределением полюсов изображения системы, распределением нулей характеристического многочлена, т.к. его нули определяют полюсы изображения(собственного движения) САУ.

Таким образом, в устойчивой системе собственное движение затухает при LaTeX:  t\rightarrow \infty, а её рекция на возмущения стремится к установившемуся значению.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического многочлена находились в левой полуплоскости.

Существуют несколько критериев по которым определяют устойчивость САУ.

Критерии устойчивости линейных САУ


Алгебраический критерий устойчивости Рауса

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Частотный критерий устойчивости Эрмита - Михайлова

Частотный критерий устойчивости Найквиста


Устойчивость линейных систем

Устойчивая САУ — система, в которой переходные процессы являются затухающими.

LaTeX: (a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n)y = (b_0p^m+b_1p^{m-1}+...+b_m)g — операторная форма записи линеаризированного уравнения.

y(t) = yуст(t)+yп = yвын(t)+yсв

yуст(yвын) — частное решение линеаризированного уравнения.

yп(yсв) — общее решение линеаризированного уравнения как однородного дифференциального уравнения, то есть LaTeX: D(p)=(a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n)y = 0

САУ устойчива, если переходные процессы уn(t), вызываемые любыми возмущениями, будут затухающими с течением времени, то есть LaTeX: y_n(t)\rightarrow 0 при LaTeX: t\rightarrow \mathcal {1}

Решая дифференциальное уравнение в общем случае, получим комплексные корни pi, pi+1 = ±αi ± jβi

Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует следующая составляющая уравнения переходного процесса:

LaTeX: 
c_ie^{(\alpha_i+j\beta_i)t}+c_{i+1}e^{(\alpha_i-j\beta_i)t}=\alpha_i(c_ie^{j\beta_it}+c_{i+1}e^{-j\beta_it}) = 
Ae^{\alpha_it}\sin {(\beta_it+\varphi_i)}
, где LaTeX: 
A = \sqrt{c_i^2+c_{i+1}^2}
, LaTeX: 
\operatorname{tg} {\varphi_i} = {c_i+c_{i+1} \over c_i-c_{i+1}}

Из полученных результатов видно, что:

  • при ∀αi<0 выполняется условие устойчивости, то есть переходный процесс с течением времени стремится к ууст (Теорема Ляпунова 1);
  • при ∃αi>0, выполняется условие неустойчивости (Теорема Ляпунова 2), то есть LaTeX:  Ae^{\alpha_it}\sin {(\beta_it+\varphi_i)}\rightarrow \mathcal{1} , что приводит к расходящимся колебаниям;
  • при ∃αi=0 и ¬∃αi>0 LaTeX:  Ae^{\alpha_it}\sin {(\beta_it+\varphi_i)}=const , что приводит к незатухающим синусоидальным колебаниям системы (система на границе устойчивости) (Теорема Ляпунова 3).
Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты