Применение преобразования Лапласа к анализу линейных динамических систем

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Применение преобразования Лапласа к анализу линейных динамических систем


Преобразованием Лапласа временной функции LaTeX: x(t) называется интеграл следующего вида:
LaTeX: (1)\qquad  L \mathcal {f}x(t) \mathcal {g}= \int_0^{\mathcal{1}}e ^{-st}x(t)dt

Если интеграл существует в плоскости LaTeX: Re(s)>0. Указанное положение является типичным преобразованием Лапласа. Обозначается изображение по Лапласу, как LaTeX: x(s), при этом функция LaTeX: x(s) существует не только в указанной полуплоскости, но и вне её за исключением особых точек, она является аналитической.

В данном случае в качестве особых точек будут выступать полюса и если интеграл Лапласа существует, то функция комплексного переменного LaTeX: x(s) называется изображением по Лапласу функции LaTeX: x(t), которая называется оригиналом.

LaTeX: (2) \qquad x(s)\risingdotseq x(t)

Условия LaTeX: x(t):

  • экспоненциально ограниченная функция;
  • она равняется нулю при t<0.

В теории преобразования Лапласа решаются две задачи:

  • Построения изображения по известному оригиналу;
  • Восстановление оригинала по изображению.

Применение теории преобразования Лапласа является весьма эффективным в анализе линейных функциональных уравнений, к которым относятся дифференциальные уравнения.
Для поиска решений преобразовываем уравнение по Лапласу и получаем уравнение в области изображений, разрешимое относительно изображения. Используя обратное преобразование Лапласа находим искомое решение.
Для применения указанной схемы имеет важное значение следующие преобразования Лапласа:

  1. Линейности
    • Преобразование по Лапласу линейной комбинации будет равно той же самой линейной комбинации:
    • LaTeX: L \mathcal {f} \sum_k \alpha _k x _k(t)\mathcal {g}= \sum_k \alpha _k L \mathcal {f}x _k(t)\mathcal {g}
  2. Изображение производных
    • LaTeX: \frac{dx}{dt}\risingdotseq sx(s)- x _0
  3. Изображение интегрирования
    • LaTeX: \int^t_0x(\tau)d\tau \risingdotseq \frac{1}{s}x(s)
  4. Изображение экспоненциальной функции
    • LaTeX: e ^{\lambda t} \risingdotseq \frac{1}{s-\lambda}

Рассмотривая систему дифференциальных уравнений, приведенных к нормальной форме Коши:
LaTeX: (3) \qquad\frac{dx}{dt}=Ax+f(t)
A-не должна зависить от времени(ни один из её коээфициентов)

LaTeX: (4) \qquad 
\begin{cases} 
\frac{dx _1}{dt}=a _{11}x _1+a _{12}x _2+...+a _{1n}x _n +f _1(t)\\
\frac{dx _2}{dt}=a _{21}x _1+a _{22}x _2+...+a _{2n}x _n +f _2(t)\\
...\\
\frac{dx _n}{dt}=a _{n1}x _1+a _{n2}x _2+...+a _{nn}x _n +f _n(t)\\
\end{cases},

Применив преобразование Лапласа к системе (4) получим следующие изображения:

LaTeX: (4') \qquad 
\begin{cases} 
+(s-a _11)x _1-a _{12}x _2-...-a _{1n}x _n =f _1(s)+x _{10}\\
-a _{21}x _1+(s-a _{22}x _2)-...-a _{2n}x _n=f _2(s)+x _{20}\\
...\\
-a _{n1}x _1-a _{n2}x _2-...+(s-a _{nn})x _n=f _n(s)+x _{n0}\\
\end{cases},

Таким образом мы преобразовали систему дифференциальных уравнений в линейную систему однородных уравнений относительно изображений переменных.

Теперь можно построить решение алгебраической системы:

LaTeX: (5) \qquad x _i(s)=\frac{\Delta _i(s)}{\Delta(s)}

LaTeX: \Delta(s)=\begin{vmatrix}
</p>
<pre> {s-a _{11}} & {-a _{12}} &\cdots &  {-a _{1n}}\\
 {-a _{21}} & {s-a _{22}} &\cdots &  {-a _{2n}}\\ 
   \vdots & &\hdots\\
 {-a _{n1}} & {-a _{n2}} &\cdots &  {s-a _{nn}}\\
</pre>
<p>\end{vmatrix}

Определитель LaTeX: {\Delta _i(s)} получается из LaTeX: {\Delta(s)} заменой i-го столбца на правые части уравнения (4').

Изображение решения системы (4') будет иметь следующий вид:
LaTeX: (6) \qquad x_i(s)=\sum^n_{j=1}\Delta _{ji}(s) \widehat{f _i}(s)\frac{1}{\Delta(s)}
LaTeX: \Delta _{ji}(s)- алгебраическое дополнение элемента с индексом ji главного определителя LaTeX: \Delta(s)
LaTeX: \widehat{f _i}(s)- изображение соответствующее правой части уравнения (4').
Найдя LaTeX: x_i(s) и воспользовавшись теоремой вычетов мы можем восстановить соответствующие оригиналы, т.о. найдя решение исходной системы дифференциальных уравнений.

Преобразование Лапласа линейной динамической системы в векторно-матричной форме.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты