Передаточная функция

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Передаточная функция (ч.I)

Передаточной функцией называется отношение изображения выхода системы к изображению входа.
Рассмотрим одномерную систему. Запишем уравнение пространства состояний для одномерной системы.

LaTeX: (1) \qquad 
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=Ax+bu\\
y=c ^T x
\end{cases}

Уравнение Коши-Лагранжа для выхода системы во временной области будет иметь вид:

LaTeX: (2)\qquad  y (t) =y ^0 (t)+ \int_{t _0}^t {g(t-\tau)u(\tau)}d\tau,

где LaTeX: g(t)-весовая функция системы, которая можно найти следующим образом:

LaTeX: g(t)=c ^T \Phi (t)b

Переходя из (2) в комплексную область и используя теорему свертки, как одно из свойств преобразования Лапласа, получаем изображение для выхода системы:

LaTeX: y(s)=W(s)u(s)+ y ^0 (s),

где LaTeX: W(s)=c ^T \Phi(s)b

В данном случае мы получаем передаточную функцию, как отношение двух полиномов:

LaTeX: W(s)=\frac{p(s)}{q(s)},

где q(s)-характеристический определитель системы.

Элементы присоединенной матрицы это многочлены степени не выше LaTeX: n-1, получаем, что числитель LaTeX: p(s) также является многочленом степени не выше LaTeX: n-1.

Вспоминая временные соотношения, характерризующие САУ, можно поставить в соответствие выражения в временной и в комплексной областях:

  • Весовая матрица системы:

LaTeX: G(t)=c\Phi(t)b

В свою очередь, матрица передаточной функции:

LaTeX: W(s)=c\Phi(s)b Матрица передаточной функции является изображением для весовой матрицы системы:

LaTeX: W(s)\risingdotseq G(t)

для одномерных систем:

LaTeX: w(s)\risingdotseq g(t)

  • Основывается на вход-выходных соотношениях системы во временной и комплексной областях. Вход-выходное соотношение во временной области можно записать используя соотношение Коши-Лагарнжа(2)

    . Соответствующее изображение вход-выходного соотношения в комплексной области можно представить следующим образом:

LaTeX: (3)\qquad  y (s) =y ^0 (s)+ W(s)u(s)

Учитывая свойства свертки, мы видим, что эти 2а вход-выходных соотношения связаны . Аналогичная связь справедлива и для одномерных систем.

Передаточная функция (ч.II)

При рассмотрении системы с одним входом и одним выходом передаточная функция будет иметь вид:

LaTeX: (4) \qquad W(s)=\frac{p(s)}{q(s)}

Числитель и знаменатель передаточной функции являются вещественными полиномами вада:

LaTeX: (5) \qquad 
\begin{cases}
p(s)=b _0 s^m+ b _1s ^{m-1} +...+b _{m-1}s+b_m\\
q(s)=a _0 s^n+ a _1s ^{n-1} +...+a _{n-1}s+a_n
\end{cases}

Коэффициенты в (5) - вещественные числа, обычно LaTeX: a_0=1 и степень числителя по крайней мере на единицу меньше, чем степень знаменателя.

Рассмотрим общие случаи:

  1. LaTeX: W( \infty)\neq \infty при LaTeX: m<n данный тип называется правильной передаточной функцией.
  2. LaTeX: W( \infty)= 0 при LaTeX: m< n данный тип называется строго правильной передаточной функцией.
  3. LaTeX: W( \infty)= \infty при LaTeX: m> n данный тип называется неправильной передаточной функцией.

При этом 1,2-й типы являются физически реализуемыми.

Так как передаточная функция задается с помощью многочленов, то её свойства определяются свойствами многочленов LaTeX: p(s),q(s)

Возможные представления характеристического многочлена системы LaTeX: q(s) можно увидеть здесь.

В ряду указанных корней, некоторые корни могут повторяться, тогда возникает, так называемая, кратность корней. Если у нас имеетсяLaTeX:  \rho различных корней знаменателя и LaTeX: \nu различных корней числителя, тогда передаточную функцию можно записать следующим образом:

LaTeX: W(s)=\frac{b_0}{a_0}\frac{(s-\nu_1)^{m_1}(s-\nu_2)^{m_2}...(s-\nu _\mu)^{m _\mu}}{(s-\lambda_1)^{n_1}(s-\lambda_2)^{n_2}...(s-\lambda _\rho)^{n _\rho}}

Корни полинома числителя называют нулями ПФ САУ, а корни знаменателя - полюсами.

Если рассматривать один какой-либо выбранный полюс LaTeX: \lambda

LaTeX: q(s)=(s-\lambda)^rq_r(s)

при этом LaTeX: q_r(\lambda)\ne 0; LaTeX: deg q_r(\lambda)=n-r

Динамика линейной системы в первую очередь определяется её полюсами.

См.также:Передаточные функции типовых звеньев.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты