Нечеткое множество

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале LaTeX: [0, 1], а не только значения LaTeX: 0 или LaTeX: 1.

Содержание

Определение

Под нечётким множеством LaTeX: A \ понимается совокупность
LaTeX: A = \{(x, \mu_A(x))| x \in X\},
где LaTeX: X \ — универсальное множество, а LaTeX: \mu_A(x) \ функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента LaTeX: x \ нечёткому множеству LaTeX: A \ .

Функция LaTeX: \mu_A(x) \ принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве LaTeX: M \ . Множество LaTeX: M \ называют множеством принадлежностей, часто в качестве LaTeX: M \ выбирается отрезок LaTeX: [0, 1] \ . Если LaTeX: M = \{0, 1\} \ , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Основные определения

Пусть LaTeX: A \ нечёткое множество с элементами из универсального множества LaTeX: X \ и множеством принадлежностей LaTeX: M = [0, 1] \ . Тогда

  • Носителем (суппортом) нечёткого множества LaTeX: supp A \ называется множество LaTeX: \{x|x \in X, \mu_A(x) > 0 \}.
  • Величина
    LaTeX: \sup_{x \in X} \mu_A(x) = \max_{x \in X}\mu_A(x),
    называется высотой нечёткого множества LaTeX: A \ . Нечёткое множество LaTeX: A \ нормально, если его высота равна LaTeX: 1 \ . Если высота строго меньше LaTeX: 1 \ , нечёткое множество называется субнормальным.
  • Нечёткое множество пусто, если LaTeX: \forall x \in X \ \mu_A(x) = 0. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:
LaTeX: \mu'_A(x) = \frac{\mu_A(x)}{\sup \mu_A(x)}
.
  • Нечёткое множество унимодально, если LaTeX: \mu_A(x) = 1 \ только на одном LaTeX: x \ из LaTeX: X \ .
  • Элементы LaTeX: x \in X, для которых LaTeX: \mu_A(x) = 0,5 \ , называются точками перехода нечёткого множества LaTeX: A \ .

Сравнение нечётких множеств

Пусть LaTeX: A и LaTeX: B нечёткие множества, заданные на универсальном множестве LaTeX: X.

  • LaTeX: A содержится в LaTeX: B, если для любого элемента из LaTeX: X функция его принадлежности множеству LaTeX: A будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству LaTeX: B:
LaTeX: A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in X \ \mu_A(x) \leq \mu_B(x)\!.
  • В случае, если условие LaTeX: \mu_A(x) \leq \mu_B(x)\! выполняется не для всех LaTeX: x \in X , говорят о степени включения нечёткого множества LaTeX: A в LaTeX: B, которое определяется так:
LaTeX: l\left(A \subset B \right) = \min_{x \in T} \mu_ B(x)\!,

где

LaTeX: T = \{x \in X;\mu_A(x) \leq \mu_B(x), \mu_A(x)>0 \}\!.
  • Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:
LaTeX: A = B \Leftrightarrow \forall x \in X \ \mu_A(x) = \mu_B(x)\!.
  • В случае, если значения функций принадлежности LaTeX: \mu_A(x)\! и LaTeX: \mu_B(x)\! почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств LaTeX: A и LaTeX: B, например, в виде
LaTeX: E(A = B) = 1 - \max_{x \in T}|\mu_A(x) - \mu_B(x)|\!,

где

LaTeX: T = \{x \in X;\mu_A(x) \neq \mu_B(x)\}\!.

Свойства нечётких множеств

  • α-разрезом нечёткого множества LaTeX: A\subseteq X\!, обозначаемым как LaTeX: A_\alpha\!, называется следующее чёткое множество:
LaTeX: A_\alpha= \{x \in X; \mu_A(x)\geq \alpha\}\!,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

LaTeX: \chi_{A_\alpha}(x) = 
</dd></dl>
<p>\left\{\begin{matrix} 0, & \mu_A(x) < \alpha, 
\\ 1, &\mu_A(x) \geq \alpha.
</p>
\end{matrix}\right.\!

Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация

LaTeX: \alpha_1 < \alpha_2 \Rightarrow A_{\alpha_1} \supset A_{\alpha_2}\!.
  • Нечёткое множество LaTeX: A \subseteq \mathbf{R}\! является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие
LaTeX: \mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \geq \langle\mu_A(x_1)\land \mu_A(x_2) = \min\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!,

для любых LaTeX: x_1,x_2 \in \mathbf{R}\! и LaTeX: \gamma \in [0,1]\!.

  • Нечёткое множество LaTeX: A \subseteq \mathbf{R}\! является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие
LaTeX: \mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \leq \langle\mu_A(x_1)\lor \mu_A(x_2) = \max\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!,

для любых LaTeX: x_1,x_2 \in \mathbf{R}\! и LaTeX: \gamma \in [0,1]\!.

Операции над нечёткими множествами

При LaTeX: M = [0, 1] \

  • Пересечением нечётких множеств LaTeX: A и LaTeX: B называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в LaTeX: A и LaTeX: B:
LaTeX: \mu_{A\cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.
  • Произведением нечётких множеств LaTeX: A и LaTeX: B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
LaTeX: \mu_{AB}(x) = \mu_A(x) \mu_B(x)\!.
  • Объединением нечётких множеств LaTeX: A и LaTeX: B называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее одновременно LaTeX: A и LaTeX: B:
LaTeX: \mu_{A\cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.
  • Суммой нечётких множеств LaTeX: A и LaTeX: B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
LaTeX: \mu_{AB}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x)\ - \mu_A(x) \mu_B(x)\!.
  • Отрицанием множества LaTeX: A \ при LaTeX: M = [0, 1] \ называется множество LaTeX: \overline A с функцией принадлежности:
LaTeX: \mu_{\overline A}(x) = 1 - \mu_A(x)\!,

для каждого LaTeX: x \in X\!.

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определеляется следующим образом

LaTeX: \mu_{A\cap B}(x) = T(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,

где функция T — это так называетмая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты