Матричные методы. Анализ моделей в комплексной области

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Матричные методы. Анализ моделей в комплексной области

Основным элементом построения модели в комплексной области, является изображение переходной функции:

LaTeX:  (1) \qquad \Phi(s)=(sI-A)^{-1}=\frac{1}{q(s)}p(s)

Основной проблемой построения указанного базового элемента является нахождение коэффициентов элементов присоединенной матрицы LaTeX: p _{ij}(s), коэффициентов характеристического полинома системы LaTeX: q(s).

LaTeX: (2) \qquad  q(s)= s ^{n}+a_{1}s ^{n-1}+...+a_{n-1}s+ a _n

В силу того, что элементы присоединенной матрицы имеют степень не выше LaTeX: n-1, то можно представить присоединенную матрицу в виде матричного многочлена:

LaTeX: (3) \qquad  p(s)= p _{0}s ^{n-1}+p_{1}s ^{n-2}+...+p_{n-2}s+ p _{n-1}

В (3) коэффициенты матричного многочлена LaTeX: p _i- числовые матрицы.

Пример:
Присоединенная матрица системы:
LaTeX: p(s)=\begin{bmatrix}
 {s ^3 +1} &  {3s} \\
 {s ^2 + 2s} & 1
\end{bmatrix}
Эту присоединенную матрицу можно представить в следующем виде:
LaTeX: p(s)=\begin{bmatrix}{1} &  {0} \\ {0} & 0 \end{bmatrix}s ^3+
\begin{bmatrix}{0} &  {0} \\ {1} & 0 \end{bmatrix}s ^2+ \begin{bmatrix}{0} &  {3} \\ {2} & 0 \end{bmatrix}s+
\begin{bmatrix}{1} &  {0} \\ {0} & 1 \end{bmatrix}

Используя (3) можно записать:

LaTeX: \qquad q(s)I=(sI-A)p(s)

LaTeX: \qquad (sI-A)(p _{0}s ^{n-1}+p_{1}s ^{n-2}+...+p_{n-2}s+ p _{n-1})=q(s)I

LaTeX: \qquad p _{0}s ^{n-1}+p_{1}s ^{n-2}+...+p_{n-2}s+ p _{n-1})=q(s)I

Раскрыв скобки в последнем выражении и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях LaTeX: s получим:

LaTeX: (4) \qquad  \begin{matrix}
{s ^n} & \vline & {p _0=I} \\ 
{s ^{n-1}} & \vline & {p _1- Ap _0=A _1I} \\ 
\hdots & \vline & \hdots\\
{s ^0} & \vline & {0- Ap _{n-1}=a _nI} 
\end{matrix}

(4)представляет собой систему реккурентных соотношений для определения присоединенных коэффициентов, представляющих присоединенную матрицу.

Как следствие, мы можем сформировать теорему Келли-Гамильтона.


см.также:



Для нахождения изображения F(s), кроме матричных коэффициентов присоединенной матрицы нам также необходимы коэффициенты характерристического уравнения. При этом было бы хорошо, если бы алгоритм решал обе эти задачи.

Базовым алгоритмом решения данной задачи является алгоритм Фаддеева-Леверрье.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты