Математические модели объектов управления и звеньев

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Общая математическая модель динамической системы (объекта или звена)
В качестве основной математической модели используются системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши:
LaTeX:  (1) \qquad
\begin{cases}
& \frac{dx _1}{dt}=f _1 (x _1, x _2 ... x _n , t) &
& \frac{dx _2}{dt}=f _2 (x _1, x _2 ... x _n , t) &
& ... &
& \frac{dx _n}{dt}=f _n (x _1, x _2 ... x _n , t) 
\end{cases}
LaTeX: f _i-заданные функции указаных переменных LaTeX: x _1, ... , x _n и t
Упорядоченная совокупность значений переменных LaTeX: (x _1, x _2 ... x _n , t) \epsilon \mathbb R ^{n+1} будем рассматривать как точку в n+1 мерном пространстве.
Как и всякие функции, функции указанные в соотношении (1) должны быть формально математически определены, т.е. они должны быть заданы и должна быть указана их область определения, которая является частью пространства n+1 мерного LaTeX: D\subset \mathbb R ^{n+1}.
Область определения может быть указана простейшим образом, например, простейшим неравенством:
LaTeX: (2) \qquad
\begin{cases}
\vartheta \leqslant t \leqslant \Theta \\
a _1 \leqslant x _1 \leqslant b _1 \\
a _2 \leqslant x _2 \leqslant b _2 \\
... \\
a _n \leqslant x _n \leqslant b _n
\end{cases}
Каждое из неравенств определяет замкнутый интервал на соответствующей оси пространства. Вся совокупность определяет замкнутый параллелипипед в пространстве LaTeX: \mathbb R ^{n+1}.
В широком классе построения модели предполагается, что кажадая функция из соотношения (1) однозначно определена и непрерывна по всем своим пременным, а если справедливо то, что область определения является замкнутой, то из этого следует, что все LaTeX: f _i ещё и ограничены по абсолютной величине.
Совокупность функций
LaTeX: (3) \qquad (x _1 (t), x _2 (t),..., x _n (t), t)
определенных на некотором временом интервале пренадлежащем временному интервалу из соотношения (2), с учетом того, что эти функции непрерывны вместе со своими производными, называют решением системы (1), если в указанном интервале времени будет выполняться указанное тождество:
LaTeX: (4) \qquad \frac{d x _i (t)}{dt}= f _i (x _1 (t), x _2 (t),..., x _n (t), t)  LaTeX: , i=\overline{1,n}
Таким образом, n-мерное пространствоLaTeX: \mathbb R ^{n}к которому принадлежат точки решения:
LaTeX: (5) \qquad \begin{cases}
x _1 = x _1 (t) \\
x _2 = x _2 (t) \\
... \\
x _n = x _n (t) \\
\end{cases}
называют фазовым пространством или пространство состояния системы, а переменные LaTeX: (x _1, x _2 ... x _n называют фазовыми переменными или переменными состояния.
Кривая в пространстве состояния, которая определяется решением (5) называется траекторией системы.
При механической интерпритации решение (5) называют движением системы.
Решение (5) системы (1) удовлетворяющие начальным условиям и определенная на некотором интервале времени, который указан в неравенстве (2), называют заданным решением системы.
Интервал времени может быть задан:
LaTeX: (6) \qquad t _0 \leqslant t \leqslant t _f
либо
LaTeX: (7) \qquad t _0 , t _f \epsilon [\vartheta , \Theta \\]
т.к. удалось ввести в рассмотрение заданное движение, все остальные движения будут называться возмущенными.
Интервал определения системы (6) или (7) может быть как конечный так и безсконечный.
Пространство состояния системы в котором рассматривается траектория системы относится к евклидовым пространствам.
На основании этого мы можем ввести в рассмотрение понятие вектор.
Введем первый вектор, который состоит из переменных состояния - вектор состояния системы.
LaTeX: (8) \qquad x=\left(\begin{matrix} x _1\\ x _2\\ ... \\x _n \end{matrix}} \right)
Второй вектор - это вектор правых частей системы (1)
LaTeX: (9) \qquad f=\left(\begin{matrix} f _1\\ f _2\\ ... \\f _n \end{matrix}} \right)
, тогда можно записать (1) в векторно-матричной форме

 LaTeX: (10) \qquad \frac{dx}{dt}=f(x,t),

здесь LaTeX: x(t) \mathbb R ^{n}
Векторно-матричное уравнение (10) описывает систему в целом.

Система (10), содержащая в явном виде t называется нестационарой системой, если же t в явном виде не входит в систему (1) в правую часть, то такая система называется стационарной или автономной.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты