ЛАФЧХ

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск
ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) — представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.

ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и фазо-частотной характеристики, которые обычно располагаются друг под другом.

Анализ систем с помощью ЛАФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое применение в различных отраслях техники, таких как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.

Содержание

Названия

В западной литературе используется название диаграмма Боде или график Боде, по имени выдающегося инженера Шаблон:Translation2.

В инженерных кругах название обычно сокращается до ЛАХ.

В пакете прикладных программ для инженерных вычислений MATLAB для построения ЛАФЧХ используется функция bode.

Использование

Свойства и особенности

Если передаточная функция системы является рациональной, тогда ЛАФЧХ может быть аппроксимирована прямыми линиями. Это удобно при рисовании ЛАФЧХ вручную, а также при составлении ЛАФЧХ простых систем.

С помощью ЛАФЧХ удобно проводить синтез систем систем управления, а также цифровых и аналоговых фильтров: в соответствии с определёнными критериями качества строится желаемая ЛАФЧХ, аппроксимированная с помощью прямых линий, которая затем разбивается на ЛАФЧХ отдельных элементарных звеньев, из которых восстанавливается передаточная функция системы (регулятора) или фильтра.

ЛАЧХ

На графике ЛАЧХ абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложена амплитуда передаточной функции в децибелах.

Представление АЧХ в логарифмическом масштабе упрощает построение характеристик сложных систем, так как позволяет заменить операцию перемножения АЧХ звеньев сложением, что вытекает из свойства логарифма: LaTeX: ~ \lg(a \cdot b) = \lg(a) + \lg(b) .

ФЧХ

На графике фазо-частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложен фазовый сдвиг выходного сигнала системы относительно входного (обычно в градусах).

Также возможен вариант, когда по оси ординат откладывается фазовый сдвиг в логарифмическом масштабе, в этом случае характеристика будет называться ЛФЧХ.

Случай минимально-фазовых систем

Амлитуда и фаза системы редко меняются независимо друг от друга — при изменении амплитуды меняется и фаза и наоборот. Для минимально-фазовых систем ЛФЧХ и ЛАЧХ могут быть однозначно определены друг из друга с помощью преобразования Гильберта.

Построение ЛАФЧХ

Основная идея основывается на следующем математическом правиле сложения логарифмов. Если передаточную функцию можно представить в виде дробно-рациональной функции

LaTeX:  f(x) = A \prod (x + c_n)^{a_n} ,

то:

LaTeX:  \log(f(x)) = \log(A) + \sum a_n log(x + c_n)

После разбиения передаточной функции на элементарные звенья можно построить ЛАФЧХ каждого отдельного звена, а результирующую ЛАФЧХ получить простым сложением.

Аппроксимация ЛАЧХ прямыми линиями

При построении ЛАЧХ для оси ординат обычно используется масштаб LaTeX: ~20 \cdot \operatorname{lg}(X), то есть значение АЧХ, равное 100 превращается в 40 децибел шкалы ЛАЧХ. Если передаточная функция имеет вид:

LaTeX:  H(s) = A \cdot \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}
где LaTeX: \ s  — комплексная переменная, которую можно связать с частотой, используя следующую формальную замену: LaTeX: ~ s = j \omega\ , LaTeX: \ x_n и LaTeX: \ y_n — константы, а LaTeX: \ H  — передаточная функция. Тогда построить ЛАЧХ можно используя следующие правила:
  • в каждом LaTeX: \ s , где LaTeX: \omega\ = x_n (нуль), наклон линии увеличивается на LaTeX: (20 \cdot a_n) дБ на декаду.
  • в каждом LaTeX: \ s , где LaTeX: \omega\ = y_n (полюс), наклон линии уменьшается на LaTeX: (20 \cdot b_n) дБ на декаду.
  • Начальное значение графика можно найти простой подстановкой значения круговой частоты LaTeX:  \omega\ в передаточную функцию.
  • Начальный наклон графика зависит от числа и порядка нулей и полюсов, которые меньше начального значения частоты. Он может быть найден с помощью первых двух правил.
  • В случае наличия комплексно-сопряжённых нулей или полюсов необходимо использовать звенья второго порядка, LaTeX: ~x^2+ax+b, наклон менятся в точке LaTeX:  \sqrt{b} сразу на LaTeX: (40 \cdot a_n) дБ на декаду.

Корректировка аппроксимированной ЛАЧХ

Для корректировки ЛАЧХ, аппроксимированную прямыми линиями надо:

  • в каждом нуле поставить точку на LaTeX: 3 \cdot a_n\ дБ выше линии (LaTeX: 6 \cdot a_n\ дБ для двух комплексно-сопряжённых нулей)
  • в каждом полюсе поставить точку на LaTeX: 3 \cdot a_n\ дБ ниже линии (LaTeX: 6 \cdot a_n\ дБ для двух комплексно-сопряжённых полюсов)
  • плавно соединить точки, используя прямые линии в качестве асимптот

Аппроксимация ФЧХ

Для построения аппроксимированной ФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:

LaTeX:  H(s) = A \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}}

Основной принцип построения ФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложив их. Точная кривая фазо-частотной характеристики задаётся уравнением:

LaTeX:  \varphi = \operatorname{arctg} (\frac{\Im(H(j \omega))}{\Re(H(j \omega))})

Для того, чтобы нарисовать ФЧХ для каждого полюса или нуля, используют следующие правила:

  • если LaTeX: \ A положительно, начать линию (с нулевым наклоном) в 0 градусов,
  • если LaTeX: \ A отрицательно, начать линию (с нулевым наклоном) в 180 градусов,
  • для нуля сделать наклон линии вверх на LaTeX: 45 \cdot a_n (LaTeX: 90 \cdot b_n для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с LaTeX:  \omega = \frac{x_n}{10} ,
  • для полюса наклонить линию вниз на LaTeX: 45 \cdot b_n (LaTeX: 90 \cdot b_n для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с LaTeX:  \omega = \frac{y_n}{10} ,
  • обнулить наклон снова когда фаза изменится на LaTeX:  90 \cdot a_n градусов для простого нуля или полюса и на LaTeX:  180 \cdot a_n градусов для комплексно-сопряжённого нуля или полюса,
  • сложить все линии и нарисовать результирующую.

Анализ устойчивости по ЛАФЧХ

ЛАФЧХ некоторых элементарных звеньев

Ниже представлена таблица, в которую помещены передаточные функции и ЛАФЧХ некоторых типовых элементарных звеньев. Большая часть линейных стационарных систем может быть представлена в виде соединения таких звеньев. В таблице LaTeX:  \ s  — комплексная переменная.

Звено Передаточная функция ЛАФЧХ Примечания
1 пропорциональное LaTeX:  \ K Gain bode.png LaTeX:  \ K = 100
2 идеальное интегрирующее (Интегратор) LaTeX: \frac{1}{s} Integ bode.png
3 идеальное дифференцирующее (Дифференциатор) LaTeX:  \ s Diff bode.png
4 апериодическое
(реальное интегрирующее)
LaTeX: \frac{1}{Ts+1} Aper bode.png LaTeX: \ T = 0,01
5 колебательное LaTeX: \frac{1}{T^2s^2 + 2\;\xi\ T s + 1} Aper 2.png LaTeX: \ T = 0,01
LaTeX: \xi\ = 0.1
6 неустойчивое
апериодическое
LaTeX: \frac{1}{Ts - 1} Unstaper bode.png LaTeX: \ T = 0,01

неминимально-фазовое
7 форсирующее LaTeX:  \ Ts + 1 For bode.png LaTeX: \ T = 0,01
8 форсирующее
второго
порядка
LaTeX: \ T^2s^2 + 2\;\xi\ T s+ 1 For2 bode.png LaTeX: \ T = 0,01
LaTeX: \xi\ = 0.1
9 чистого
запаздывание
LaTeX:  \ e^{-sT} Delay bode.png LaTeX: \ T = 0.0001

См. также

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты