Критерий устойчивости Найквиста

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Критерий устойчивости Найквиста — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия можно оценить устойчивость наглядно и без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Содержание

Условие устойчивости

Передаточная функция динамической системы LaTeX: \ T(s) может быть представлена в виде дроби

LaTeX: \ T(s) = \frac{N(s)}{D(s)}.

Устойчивость LaTeX: \ T(s) достигается тогда, когда все её полюса находятся в левой полуплоскости на плоскости корней. В правой полуплоскости их быть не должно. Если LaTeX: \ T(s) получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией LaTeX: \ F(s) = \frac{A(s)}{B(s)}, тогда полюса передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции LaTeX: \ 1 + F(s) Выражение LaTeX: \ 1 + F(s) = 0 называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента Коши

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур LaTeX:  \Gamma_s\ охватывающий на LaTeX: \ s-плоскости некоторое число неаналитических точек может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость LaTeX: \ F(s)) при помощи функции LaTeX: \ F(s) таким образом, что получившийся контур LaTeX:  \Gamma_{F(s)}\ будет охватывать центр LaTeX: \ F(S)-плоскости LaTeX: \ n раз, причём LaTeX: \ n = z - p, где LaTeX: \ z — число нулей, а LaTeX: \ p — число полюсов функции LaTeX: \ F(s). Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура LaTeX:  \Gamma_s\ , а отрицательным — противоположное ему.

Формулировка критерия

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

  • участок, идущий вверх по оси LaTeX: \ j\omega\ , от LaTeX: 0 - j\infty до LaTeX: 0 + j\infty.
  • полуокружность радиусом LaTeX: r \to \infty, начинающаяся в точке LaTeX: 0 + j\infty и достигающая конца в точке LaTeX: 0 - j\infty по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы LaTeX: \ F(s), в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции LaTeX: \ F(s) минус количество полюсов LaTeX: \ F(s) в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку LaTeX: \ -1 + j0, получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции LaTeX: \ 1+F(s). Заметив, что функция LaTeX: \ 1+F(s) имеет такие же полюса, что и функция LaTeX: \ F(s), а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста:


Пусть LaTeX:  \Gamma_s\  — замкнутый контур в комплексной плоскости, LaTeX: \ p — число полюсов LaTeX: \ F(s), охваченных контуром LaTeX:  \Gamma_s\ , а LaTeX: \ z — число нулей LaTeX: \ F(s), охваченных LaTeX:  \Gamma_s\  — то есть число полюсов LaTeX: \ T(s) охваченных LaTeX:  \Gamma_s\ . Получившийся контур в LaTeX: \ F(s)-плоскости, LaTeX:  \Gamma_{F(s)}\ должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку LaTeX: \ -1 + j0 LaTeX: \ n раз, где LaTeX: \ n = z - p.


Следствия критерия Найквиста

  • Если разомкнутая система с передаточной функцией LaTeX: \ F(s) устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку −1.
  • Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов LaTeX: \ F(s) вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов LaTeX: \ F(s) в правой полуплоскости.
  • Количество дополнительных охватов (больше, чем LaTeX: \ n + p ) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

См. также

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты