Восстановление статической характеристики объекта по экспериментальным данным

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Пусть LaTeX: y &=& \phi (u) — механическая характеристика (вход-выходная характеристика).

Пусть также были проведены опыты: на входе — единичный скачок с коэффициентом усиления, на выходе фиксируется равновесное (установившееся) значение:

u LaTeX: u_1 LaTeX: u_2 LaTeX: u_n
y LaTeX: y_{p1} LaTeX: y_{p2} LaTeX: y_{pn}

В таблице LaTeX: u_i — коэффициент усиления входного единичного скачка, LaTeX: y_{pi} — соответствующее равновесное значение выхода (LaTeX: i &=& \bar{1,n}), n — число проведенных опытов.

Любую функцию, имеющую достаточное количество производных на отрезке, можно аппроксимировать полиномом достаточной степени.


LaTeX: \phi (u) \sim \gamma ^T (u) \theta


LaTeX: \gamma (u) = 
\begin{bmatrix}
</p>
<pre>1 \\
u \\
u^2 \\
\cdots \\
u^{m-1} \\
</pre>
<p>\end{bmatrix}
\in \mathbb{R} ^m ;
\qquad
\theta = 
\begin{bmatrix}
</p>
<pre>\theta_0 \\
\theta_1 \\
\vdots  \\
\theta_{m-1} \\
</pre>
<p>\end{bmatrix}
\in \mathbb{R} ^m ;


LaTeX: \phi (u) = \theta_0 + \theta_1 u + \theta_{2} u^{2} + \cdots + \theta_{m-1} u^{m-1};


Здесь m — степень аппроксимирующего полинома.

Рассмотрим полином степени, равной числу опытов n: LaTeX: m = n.


LaTeX: 
\begin{cases}
</p>
<pre>y_1 = \gamma ^T (u_1) \theta \\
y_2 = \gamma ^T (u_2) \theta \\
\cdots \\
y_n = \gamma ^T (u_n) \theta \\
</pre>
<p>\end{cases}


Запишем в векторной форме:


LaTeX: 
y = \Gamma \theta ,


где


LaTeX: 
\Gamma = 
\begin{bmatrix}
</p>
<pre>\gamma ^T (u_1) \\
\gamma ^T (u_2) \\
\cdots \\
\gamma ^T (u_n) \\
</pre>
<p>\end{bmatrix},
\qquad
y =
\begin{bmatrix}
</p>
<pre>y_1 \\
y_2 \\
\cdots \\
y_n \\
</pre>
<p>\end{bmatrix}.


Для того, чтобы можно было найти коэффициенты аппроксимирующего полинома, необходимо, чтобы матрица LaTeX: \Gamma была невырожденной:


LaTeX: 
\theta = \Gamma ^{-1} y.


Однако количество опытов может быть большим: неразумно аппроксимировать функцию полиномом 50 степени. Поэтому более распространена аппроксимация LaTeX: m < n. В таком случае матрица LaTeX: \Gamma не является квадратной и не имеет обратной матрицы.


LaTeX: 
\underset{n \times 1}{y} = \underset{n \times m}{\Gamma} \underset{m \times 1}{\theta} ,


Однако произведение LaTeX: \Gamma^T \Gamma является квадратной матрицей и может иметь обратную. Положим, что таковая существует: домножим выражение слева на LaTeX: \Gamma^T, а затем на LaTeX: (\Gamma^T \Gamma)^{-1} и получим оценку наименьших квадратов:


LaTeX: \theta_{HK} = (\Gamma^T \Gamma)^{-1}\Gamma^T y


Матрица LaTeX: \Gamma^* = (\Gamma^T \Gamma)^{-1}\Gamma^T называется псевдообращенной.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты