Асимптота

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе используются следующие определения асимптоты:

  • Прямая называется асимпто́той графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте[3].
  • Асимпто́та [asymptote] - прямая, к которой стремится (никогда не достигая ее) имеющая бесконечную ветвь кривая некоторой функции, когда ее аргумент приближается к некоторому заданному значению, неограниченно возрастает или уменьшается[4].
Asymptote pis 01.png Asymptote pis 02.png
Рис. 1. Для гиперболы LaTeX: y = \frac{1} {x} \! асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее Рис. 2. Затухающие колебания. LaTeX: y = \frac {\cos (\tau)} {\exp (\tau)} \!. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту
Asymptote pis 03.png
Рис. 3. Пример асимптоты для трехмерной линии. Спираль бесконечно приближается к асимптоте

Некоторые определения несколько не совпадают с приведенными выше:

  • Асимптота (геометр.) - прямая черта, вечно близящаяся к кривой (гиперболе), но никогда с нею не сходящаяся[5].
  • Асимптота - прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной[6].

Нетрудно заметить, что последние два определения исключают случаи, когда кривая пересекает асимптоту (см., например, рис. 2)

Содержание

Виды асимптот графиков

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида LaTeX: ~x = a при условии существования предела LaTeX: \lim_{x \to  a}f(x)= \infty .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1.) LaTeX: \lim_{x \to  a-0}f(x)=  \infty

2.) LaTeX: \lim_{x \to  a+0}f(x)=  \infty

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида LaTeX: ~y = a при условии существования предела
LaTeX: \lim_{x \to  \pm \infty}f(x)=a.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида LaTeX: ~y=kx+b при условии существования пределов

Файл:1-over-x-plus-x.svg
Пример наклонной асимптоты


1.) LaTeX: \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k

2.) LaTeX: \lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!
Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен LaTeX: \infty), то наклонной асимптоты при LaTeX: x \to + \infty(или LaTeX: x \to - \infty) не существует!


Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела LaTeX: \lim_{x \to  \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=0, то очевидно, что наклонная асимпотота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?
Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при LaTeX: \lim_{x \to  \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=0, и из выше указанных замечаний следует, что
1.) Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту, или одну наклонную и одну горизонтульную, или две наклонных, или две горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.
2.) Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.
Файл:Asymptote03.png
График функции с двумя горизонтальными асимптотами

Нахождение асимптот

Порядок нахождения асимптот


1.) Нахождение вертикальных асимптот.
2.) Нахождение двух пределов LaTeX: \lim_{x \to  \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k
3.) Нахождение двух пределов LaTeX: \lim_{x \to  \pm \infty}(f(x)-kx)=b:

если LaTeX: ~k=0 в п. 2.), то LaTeX: ~kx=0, и предел LaTeX: \lim_{x \to  \pm \infty}(f(x)-kx)=b ищется по формуле горизонтальной асимптоты, LaTeX: \lim_{x \to  \pm \infty}f(x)=a.

Наклонная асимптота - выделение целой части

Нахождение наклонной асимптоты графика функции путем выделения целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например: Дана функция LaTeX: ~f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1}.
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

    LaTeX: ~f(x)=2x+5+ \frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2)*\frac{x+2}{x^2+1}.

При   LaTeX: ~ x \to \infty,   LaTeX: \frac{x+2}{x^2+1} \to 0,   то есть:

    LaTeX: \lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\lim_{x \to \pm \infty}(2x+5)= \pm \infty,

и LaTeX: ~y=2x+5 является искомым уравнением асимптоты.

Свойства

Примечания

  1. Большая советская энциклопедия, Большой энциклопедический словарь
  2. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с.
  3. См., например, Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Физсатгиз, 1961, 784 с.
  4. Экономико-математический словарь
  5. Толковый словарь живого великорусского языка Владимира Даля
  6. Малый энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

См. также

Ссылки

Мир словарей. Коллекция словарей и энциклопедий.

Графики функций: Справочник / Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. - Киев: Наук. думка, 1979, - 320 с.

Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты