Частотный критерий устойчивости Эрмита-Михайлова

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Для линейных систем

Объект исследования — характерристический многочлен замкнутой системы:

LaTeX: (1) \qquad D(s)= a_0 s^n+a_1s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_n

При переходе из комплексной области Лапласа в частотную,производим замену LaTeX: s на LaTeX: j\omega(где j-мнимая единица; LaTeX: \omega — частота)

Годограф Михайлова. Пример устойчивой САУ
Движение по квадрантам:I->II->III->IV, n=4.

LaTeX: (2) \qquad D(j\omega)= a_0 (j\omega)^n+a_1(j\omega)^{n-1}+...+a_{n-1}j\omega+a_n

Выделяя и групируя вещественные и мнимые части, можно получить:

LaTeX: (2') \qquad D(j\omega)=\phi(\omega)+j\psi(\omega)\qquad ,

где

вещественная часть функции Михайлова будет иметь вид:

LaTeX: \phi(\omega)=Re D(j\omega)= a_n- a_{n-2}\omega^2+a_{n-4}\omega^4-...\qquad;

мнимая часть функции Михайлова будет иметь вид:

LaTeX: \psi(\omega)=Im D(j\omega)=a_{n-1}\omega-a_{n-3}\omega^3+a_{n-5}\omega^5-... \qquad.

Таким образом, для построения годографа Михайлова составляется таблица вида:

LaTeX: \omega LaTeX: \phi(\omega) LaTeX: \psi(\omega)
LaTeX: \omega_0=0 LaTeX: \phi_0(\omega_0) LaTeX: \psi_0(\omega_0)=0
LaTeX: \omega_1 LaTeX: \phi_1(\omega_1) LaTeX: \psi_1(\omega_1)
... ... ...

Для того чтобы разомкнутая система была устойчива, необходимо чтобы для замкнутой системы при LaTeX: \omega \mathcal{2} [0;+\mathcal {1}) вектор кривой годографа Михайлова LaTeX: D(jw)начал свое движение на вещественной положительной полуоси и вращаясь против часовой стрелки (в положительном направлении) прошел последовательно LaTeX: n квдрантов координатной плоскости.
Если кривая Михайлова проходит через т.LaTeX: (0;0), то система будет находится на границе устойчивости.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты