Переходная матрица системы

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Переходная матрица LaTeX:  \Phi(t,\Theta) является непрерывно дифференцируемой. Справедливо следующее соотношение:

LaTeX:  (1) \qquad
\begin{cases}
\frac{d\Phi(t,\Theta)}{d\Theta}= -\Phi(t,\Theta)A(\Theta)\\
\Phi(t,t)= E 
\end{cases}\\

Соотношение (1) полностью и однозначно определяет матрицу LaTeX: \Phi как функцию двух переменных, эта матрица называется переходной матрицей системы.

Для конструирования указанной матрицы вводится следующее соотношение:

LaTeX: (2) \qquad
\frac{d}{d\Theta}\Phi(t,\Theta)x(\Theta)= \frac{d\Phi(t,\Theta)}{d\Theta}x(\Theta)+\Phi(t,\Theta)\frac{dx(\Theta)}{d\Theta}

LaTeX: x(\Theta)- решение системы в момент времени LaTeX: \Theta LaTeX: ( \frac{dx}{dt}=A(t)x+f(t))

Можно записать следующее:

LaTeX: (3) \qquad \frac{dx(\Theta) }{d\Theta}=A(\Theta)x(\Theta)+f(\Theta), \quad

Подставив (3) в (2) получим следующее соотношение:

LaTeX: (4) \qquad
\frac{d}{d\Theta}\Phi(t,\Theta)x(\Theta)=\left\lfloor \frac{d\Phi(t,\Theta)}{d\Theta}+\Phi(t,\Theta)A(\Theta)\right\rfloor x(\Theta)+\Phi(t,\Theta)f(\Theta)

Учитывая, что LaTeX: x(\Theta)- решение, из выражения LaTeX: \left\lfloor \frac{d\Phi(t,\Theta)}{d\Theta}+\Phi(t,\Theta)A(\Theta)\right\rfloor получим (1)

Соотношение (1) определяет указанную матричную функцию, как функцию двух пременных.

Использую (1) можно проинтегрировать (4) в пределах от LaTeX: t _0 до момента времени t.В результате получим:

LaTeX: (5) \qquad x(t)=\Phi(t, t _0)x _0 + \int\limits_{t _0}^{t} {\Phi(t,\Theta)f(\Theta)}\, d\Theta

Соотношение (5)называется формулой Коши-Лагранжа и определяет заданное решение в явном виде являясьодним из самых основных уравнений ТАУ.

Если предположить, что внешние воздействия тождественно равны нулю, а начальное время LaTeX: t _0=0, то мы получим представление для x(t):

LaTeX: (6) \qquad x(t)=\Phi(t, \Theta)x(\Theta)

Соотношение (6) связывает между собой два состояния системы в моменты времени LaTeX: \Theta и t при условии отсутствия возмущающего воздействия, т.о. (6) показывает, как система переходит из состояния в момент времени LaTeX: \Theta в состояние в момент времени t, а вид этого перехода определяет матрица f, поэтому указанная матрица называется переходной матрицей системы.

Переходная матрица также может быть определена по первому аргументу t. Чтобы получить это выражение мы должны продифференцировать выражение (6)по t:

LaTeX: \frac{dx(t)}{dt}=\frac{d\Phi(t,\Theta)}{dt} \Rightarrow A(t)x(t)=\frac{d\Phi(t,\Theta)}{dt}x(\Theta)

LaTeX: \begin{bmatrix}
\frac{d\Phi(t,\Theta)}{dt}-A(t)\Phi(t,\Theta)
\end{bmatrix}x(\Theta)=0

Приравняв выражение в []нулю получим следующее:

LaTeX:  (7) \qquad
\begin{cases}
\frac{d \Phi(t,\Theta)}{dt}= \Phi(t,\Theta)A(t)\\
\Phi(\Theta,\Theta)=E 
\end{cases}\\

(7) определяет переходную матрицу системы по первому аргументу. Рассмотрим свойства.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты