Переходная матрица для стационарных систем

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Переходная матрица для стационарных систем зависит от разности своих аргументов LaTeX: \Phi(t-\Theta) и если учесть такое понятие, как сдвиг во времени,то LaTeX: t-\Theta=\tau и записать соотношения для переходной матрицы по первому аргументу в следующем виде:

LaTeX: (1) \qquad 
\begin{cases} 
\frac{d\Phi}{dt}=A\Phi \\ \\
\Phi \Bigr|_{\tau=0}^{}=E \\
\end{cases};

Из соотношения следует, что можно представить переходную матрицу, как функцию одного аргумента LaTeX: \tau. Тогда формула Коши-Лагранжа будет иметь следующий вид:

LaTeX:  (2) \qquad x(t)=\Phi(t)x _0 + \int_0^t Phi(t-\Theta)f(\Theta)d\Theta

Формальным решением (1) благодаря тому, что А не зависит от времени будет следующий матричный ряд:

LaTeX:  (3) \qquad \Phi(\tau)=E+A\tau+\frac {1} {2} A ^2 \tau ^2 +...+ \frac {1} {k!} A ^k \tau ^k

Для проверки достаточно, продифференцировать.
Ряд из (3) сходится абсолютно, равномерно при всяких конечных LaTeX: \tau. Если этот ряд записать в скалярном виде, мы получим ряд вида:
LaTeX: (4) \qquad e ^{\alpha\tau}=1+\alpha|\tau|+\frac{1}{2}\alpha ^2 |\tau| ^2+ ...+\frac{1}{k!}\alpha ^k |\tau| ^k+...

(4)-экспоненциальный ряд,в который раскладывается LaTeX: e ^{\alpha\tau}

LaTeX: (3')\qquad \Phi(\tau)=e ^{A\tau}

где LaTeX: e ^{A\tau}&& матричная экспонента.

Таким образом, переходную матрицу для стационарных систем называют матричной экспонентой(свойства матричной экспоненты).

Переходную матрицу также можно определить с помощью преобразования Лапласа:

LaTeX: (5) \qquad \Phi(t)\risingdotseq (sI-A)^{-1}

Таким образом, переходная матрица во временной области LaTeX: \Phi(t) является оригиналом изображения обратной характеристической матрицы системы LaTeX: (sI-A)^{-1}.

Свойства переходной матрицы

предположим, что нам известна фундаментальная матрица системы

LaTeX: \frac{dX}{dt}=A(t)X

Для фундаментальной матрицы характерно, что её определитель не равен нулю для любого момента времени.

LaTeX: detX(t) \neq 0 \nvdash t

Переходная матрица может быть представлена с помощью фундаментальной. Продифференцируем переходную матрицу по t

LaTeX: 
\begin{cases}
\Phi(t,\Theta)=X(t)C\\
\frac{d \Phi}{dt}=\frac{d X}{dt}C= A(t)\Phi\\
\end{cases}\\

Исходя из того, что XC дает нам переходную матрицу, воспользуемся начальными условиями;переходная матрица в LaTeX: t _0 представляет собой единичную матрицу:

LaTeX: \Phi(\Theta,\Theta)=X(\Theta)C=E \Rightarrow C=X ^{-1}(\Theta)

C будет равна обратной фундаментальной матрице системы в момент времени LaTeX: \Theta

Таким образом, получаем первое свойство переходной матрицы:

Переходная матрица полностью определена при помощи фундаментальной матрицы.

LaTeX: \Phi(t,\Theta)=X(t)X ^{-1}(\Theta)

т.к. определитель фундаментальной матрицы не равен нулю, то можно получить свойство для определителя переходной матрицы.

Рассмотрим последнее соотношение, записав его в виде:

LaTeX: \Phi(t,\Theta)X(\Theta)=X(t)

Найдем определитель.

Т.к. все эти матрицы квадратные, то для них справедливо свойство, что определитель произведения равен произведению определителей фундаментальной матрицы не равен нулю в любой момент времени:

LaTeX: det\Phi(t,\Theta)\neq 0  \nvdash t, \Theta

переходная матрица является невырожденной

Для рассмотрения следующего свойства зафиксируем три момента времени LaTeX: t,\Theta,\nu

Будем рассматривать процесс без учета внешних воздействий.

LaTeX: x(t)=\Phi(t,\Theta)X(\Theta)

LaTeX: x(\Theta)=\Phi(\Theta,\nu)X(\nu)

LaTeX: x(t)=\Phi(t,\nu)X(\nu)

LaTeX: \Rightarrow x(t)=\Phi(t,\nu)X(\nu)=\Phi(t,\Theta)\Phi(\Theta,\nu)x(\nu)

Последнее выражение определяет третье свойство:

LaTeX: \Phi(t,\nu)=\Phi(t,\Theta)\Phi(\Theta,\nu)

Предположив, что LaTeX: \nu=t

т.о. получим выражение для переходной матрицы:

LaTeX: \Phi(t,\Theta)=\Phi ^{-1}(\Theta,t)

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты