Математические модели объектов управления и звеньев

Текущая версия на 00:24, 13 февраля 2010

Общая математическая модель динамической системы (объекта или звена)
В качестве основной математической модели используются системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши:

-заданные функции указаных переменных и t
Упорядоченная совокупность значений переменных будем рассматривать как точку в n+1 мерном пространстве.
Как и всякие функции, функции указанные в соотношении (1) должны быть формально математически определены, т.е. они должны быть заданы и должна быть указана их область определения, которая является частью пространства n+1 мерного .
Область определения может быть указана простейшим образом, например, простейшим неравенством:

Каждое из неравенств определяет замкнутый интервал на соответствующей оси пространства. Вся совокупность определяет замкнутый параллелипипед в пространстве .
В широком классе построения модели предполагается, что кажадая функция из соотношения (1) однозначно определена и непрерывна по всем своим пременным, а если справедливо то, что область определения является замкнутой, то из этого следует, что все ещё и ограничены по абсолютной величине.
Совокупность функций

определенных на некотором временом интервале пренадлежащем временному интервалу из соотношения (2), с учетом того, что эти функции непрерывны вместе со своими производными, называют решением системы (1), если в указанном интервале времени будет выполняться указанное тождество:

Таким образом, n-мерное пространствок которому принадлежат точки решения:

называют фазовым пространством или пространство состояния системы, а переменные называют фазовыми переменными или переменными состояния.
Кривая в пространстве состояния, которая определяется решением (5) называется траекторией системы.
При механической интерпритации решение (5) называют движением системы.
Решение (5) системы (1) удовлетворяющие начальным условиям и определенная на некотором интервале времени, который указан в неравенстве (2), называют заданным решением системы.
Интервал времени может быть задан:

либо

т.к. удалось ввести в рассмотрение заданное движение, все остальные движения будут называться возмущенными.
Интервал определения системы (6) или (7) может быть как конечный так и безсконечный.
Пространство состояния системы в котором рассматривается траектория системы относится к евклидовым пространствам.
На основании этого мы можем ввести в рассмотрение понятие вектор.
Введем первый вектор, который состоит из переменных состояния - вектор состояния системы.

Второй вектор - это вектор правых частей системы (1)

, тогда можно записать (1) в векторно-матричной форме

 ,

здесь
Векторно-матричное уравнение (10) описывает систему в целом.

Система (10), содержащая в явном виде t называется нестационарой системой, если же t в явном виде не входит в систему (1) в правую часть, то такая система называется стационарной или автономной.