Критерий Гурвица

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может оказаться значительной вычислительная ошибка).


Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть LaTeX:  W(s) = \frac{P(s)} {Q(s)} передаточная функция системы, а LaTeX:  \ Q(s) = 0 — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином LaTeX:  \ Q(s) в виде

LaTeX:  \ Q(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + ... + a_n

Из коэффициентов характеристического уравнения строится матрица Гурвица по следующему алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от LaTeX:  \ a_1 до LaTeX:  \ a_n

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше LaTeX:  \ n ставятся нули.

Матрица Гурвица (таблица Гурвица) будет иметь следующий вид:


LaTeX: H _{nxn}=
\begin{bmatrix}
</p>
<pre> a_{1}& a_{3} & \cdots & & 0 \\
 a_{0}& a_{2} &\cdots  &  & 0\\
 0 & a_{1} &  \ddots & & \vdots\\
 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} & 0\\
 0 & 0 & \cdots & a_{n-2} & a_{n}\\
\end{bmatrix}


Далее в соответствии салгебраическим критерием устойчивости Гурвица выделяются главные диагональные миноры вида:


LaTeX: \Delta _1= a_1 , \ \Delta _2=\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{vmatrix},\ ... ,\  \Delta_{n-1},\ \Delta_n=a_n\Delta_{n-1}


Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все LaTeX:  \ n главных диагональных миноров матрицы Гурвица были бы одного знака с коэффициентами матрицы Гурвица.(т.е. при LaTeX: a_0>0,...,a_n>0 все главные диагональные миноры матрицы Гурвица должны быть положительными)

Эти главные диагональные миноры называются определителями Гурвица.



Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара-Шипара. Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.

См. также

Система находится на границе апериодической устойчивости, если LaTeX: a_n = 0. Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.

Литература

Четаев Н.Г. Устойчивость движения.— Москва: Наука, 1965.—234 с.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты