Алгебраический критерий устойчивости Рауса

Материал из TAU Wiki
Перейти к: навигация, поиск

Алгебраический критерий устойчивости Рауса


Пусть задана система с единичной отрицательной обратной связью следующего вида.

EOOS.jpg

где передаточная функция прямой цепи может быть представлена в виде отношения двух полиномов:
LaTeX: W(s)=\frac {p(s)}{q(s)}

тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь следующий вид:
LaTeX: \Phi(s)=\frac {W(s)}{1+W(s)}

LaTeX: \Phi(s)=\frac{\frac{p(s)}{q(s)}}{1+\frac{p(s)}{q(s)}}=\frac{p(s)}{q(s)+p(s)}

Таким образом характеристический многочлен данной системы будет иметь вид:

LaTeX: Q(s)=q(s)+p(s)

Характеристический многочлен будет иметь вид:

LaTeX: Q(s)=a_0 s^{n}+a_{1} s^{n-1}+...+a_{n-1} s+a_n

Основой критерия Рауса является построение таблицы Рауса. Первые две строки этой таблицы задаются по коэффициентам характеристического многочлена.

Таким образом, таблица Рауса будет иметь следующий вид:

Для характеристических полиномов
с максимальной четной степенью s(LaTeX: n=2m)

LaTeX: a_0 LaTeX: a_2 LaTeX: ... LaTeX: a_{n-2} LaTeX: a_{n}
LaTeX: a_1 LaTeX: a_3 LaTeX: ... LaTeX: a_{n-1} LaTeX: 0

LaTeX: ...
Для характеристических полиномов
с максимальной нечетной степенью s(LaTeX: n=2m+1)

LaTeX: a_0 LaTeX: a_2 LaTeX: ... LaTeX: a_{n-1}
LaTeX: a_1 LaTeX: a_3 LaTeX: ... LaTeX: a_{n}

LaTeX: ...



Каждая последующая строка таблицы вычисляется по эелементам двух предшествующих строк, введем обозначения для построения таблицы Рауса.

LaTeX: C _k ^i - где k - номер строки таблицы; i - номер элемента в строке. Формула для вычисления элементов матрицы Рауса будет иметь следующий вид:

LaTeX: C _k ^i=C _{k-2} ^{i+1}-\frac{C _{k-1} ^{1}}{C _{k} ^{1}}C _{k-1} ^{i+1},
где LaTeX: k=3,4...; i=1,2...

Для того чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы таблица формировалась по регулярному случаю и все элементы первого столбца были бы одного знака.
LaTeX: * Нерегулярность возникает, когда во вспомогательной строке подряд идут два нуля.

Личные инструменты
Пространства имён
Варианты
Действия
Навигация
Инструменты